Родился 21 ноября 1910 г. в Спасском уезде Казанской губернии в семье крестьянина-бедняка. В 1921 году окончил сельскую школу. С 1921 года по 1923 год жил в детском доме в Казани. С 1924 года по 1926 год учился в Бугровской школе, жил в интернате. В 1928 году окончив два курса Спасского педагогического техникума, Набойщиков А. М. по путевке от ВЛКСМ поступил в Казанский сельскохозяйственный институт, который окончил в 1931 году. За отличную стрельбу на городском соревновании от 17 марта 1930 года в день годовщины Рабоче-крестьянской армии стрелковой секцией Областного совета Татсовавиахима награжден дипломом и значком Осавиахим-2. В 1932-1937 гг. - член пленума и бюро РК ВЛКСМ Бугульминского района. В 1935-1937 гг. - научный сотрудник, директор сельскохозяйственной опытной станции в г. Бугульма. Перед войной приказом НКЗ СССР был назначен зав. сортировочного участка № 215 Верхнеуслонского района.
Участник Великой Отечественной войны, с 1941 по 1946 гг. находился в рядах Красной Армии: участвовал в боях Карельского, 3-го Белорусского и 2-го Украинского фронтов. С июля 1941 по февраль 1942 гг. окончив курсы политработников в г. Елабуга, был направлен на Карельский фронт. В мае 1942 года получил ранение и после излечения вернулся обратно в свой 290-й стрелковый полк 186-й стрелковой дивизии на работу политруком роты автоматчиков, рекомендован на работу ответственным секретарем в партийное бюро полка. После лечения в госпитале, в октябре 1944 года был назначен в другую дивизию, на должность заместителя командира по политической части отдела медико-санитарного батальона. 1945 год Набойщиков встретил в Германии В фондах музея КГАУ сохранились его документы и фотографии, а также Благодарность от командования:
«Капитану Набойщикову Александру Михайловичу За участие в боях, завершившихся ликвидацией окруженной восточно-прусской группы немецких войск юго-западнее Кенигсберга, приказом Верховного Главноко¬мандующего маршала Советского Союза товарища Сталина от 29 марта 1945 г. за № 317 нашей части, в том числе и Вам объявлена благодарность.
Командир Краснознаменной части гвардии полковник Буланов 29 марта 1945 г.»
Из наградного листа:
1) от 14.08.1944 года орден Отечественной войны II степени, за бесперебойное снабжение полка боеприпасами и эвакуации раненых с поля боя.
2) .от 31.03.1945 года орден Красной Звезды, за умело организованную и свое-временную эвакуацию с поля боя раненых, оказание им своевременной медицин¬ской помощи и перемену дислокации медико-санитарного батальона.»
Набойщиков демобилизовался в июле 1946 году. В апреле 1947 года был отозван обкомом КПСС для исполнения обязанностей заместителя директора по политической части в Верхнеуслонский район Татарской АССР.
Набойщиков в 1948-1951 гг. учился в аспирантуре при кафедре селекции и семеноводства КСХИ. С сентября 1951 по 1 сентября 1973 года работал в институте в должности ассистента, доцента. В 1955 году - зам. декана агрономического факультета, зам. директора института по научно-учебной работе. С октября 1956 года - заведующий кафедрой плодоовощеводства. Им опубликовано более 20 научных трудов.
Награды: ордена Красной Звезды, Отечественной войны II-й степени, «Знак Почета», медаль «За оборону Заполярья».