Анатолий Алексеевич родился в 1907 году в г.Москва. Трудовую деятельность начал в 1929 году чертежником. В системе авиационной промышленности работал с 1930 года на инженерно-технических и руководящих должностях.
Труженик тыла. В 1941 году окончил Всесоюзную промышленную академию. В годы войны трудился главным инженером авиационного завода. В декабре 1945 года приказом Министра авиационной промышленности СССР назначен директором предприятия в Омске (ныне ОАО «ОМСКАГРЕГАТ»). В 1955 году Сибиркин был переведён в г.Казань на моторостроительный завод.
В 1955—1960 годах был директором завода № 16 Министерства авиационной промышленности СССР (ныне КМПО). В 1960—1963 годах — первым заместителем председателя Татарского совнархоза. Затем вернулся на завод и до 1967 года возглавлял его. За время его работы на моторостроительном заводе велись работы по повышению экономичности и надежности двигателей НК-8 и РТ-3М; в сотрудничестве с ОКБ-16 в эти годы были созданы и освоены в серийном производстве новые двигатели АМ-3 и АМ-27 к самолетам Ту-16 и Ту-104.
22 июля 1966 года Анатолию Алексеевичу Указом Президиуама Верховного Совера СССР ("закрыты") за выдающиеся заслуги в выполнении плана и создании новой техники было присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина.
Анатолий Алексеевич занимался общественной деятельностью — избирался депутатом Верховного Совета Татарской АССР, был членом Казанского городского и Татарского областного комитетов КПСС, депутатом Казанского городского совета депутатов трудящихся. Заслуженный деятель науки и техники Татарской АССР (1960г.).
Награжден двумя орденоми Ленина (1957г., 1966г.), орденами Отечественной войны II степени (1945г.), Трудового Красного Знамени(1947г.) и Красной Звезды (1943г.), многими медалями.
В последние годы жизни преподавал в Казанском авиационном институте.
Умер в октябре 1970 года.
