Александр Александрович родился 11 (24) мая 1906 года в г.Казань в семье выдающегося российского советского хирурга А. В. Вишневского. Окончил Казанский университет. В 1936 году А. А. Вишневский защищает докторскую диссертацию на тему «К вопросу о патогенезе и терапии проказы».
Принимал участие в боевых действиях против японских милитаристов в районе реки Халхин-Гол (Монголия) 1939 года, в качестве хирурга-консультанта 1-й армейской группы.
Также принимал участие в советско-финской войне 1939—1940 годов, в качестве главного армейского хирурга 9-й армии.
Участник Великой Отечественной войны. С началом войны в действующей армии, армейский хирург, главный хирург Волховского, Карельского фронтов.
С 1948 года директор института хирургии им. А. В. Вишневского АМН СССР и одновременно (с 1956 года) главный хирург Советской Армии. Член ВКП(б) с 1950 года. Главный хирург Министерства обороны СССР, генерал-полковник медицинской службы (1963г.).
Разрабатывал проблемы обезболивания в хирургии сердца, лёгких и средостения, нервной трофики в хирургии, применения полимеров в хирургии.
В 1953 году впервые в мире он произвёл под местной анестезией операцию на сердце по поводу митрального стеноза. В 1957 году Вишневский провёл первую в СССР успешную операцию на «открытом сердце» с помощью отечественного аппарата искусственного кровообращения. В 1955 году за работы по местному обезболиванию удостоен Международной премии им. Лериша.
Член Международной ассоциации хирургов, почётный член Чехословацкого научного медицинского общества им. Я.Пуркине, общества врачей Швеции, Пьемонтского общества врачей.
Депутат ВС РСФСР 6—8-го созывов. Жил в городе-герое Москве.
Награды и премии:
Ленинская премия (1960г.) — за разработку новых операций на сердце и кровеносных сосудах
Государственная премия СССР (1970г.) — за предложение, разработку и внедрение в медицинскую практику электроимпульсной терапии аритмий сердца
Герой Социалистического Труда (1966г.)
три ордена Ленина
четыре ордена Красного Знамени
два ордена Отечественной войны I степени
два ордена Красной Звезды
орден «За службу Родине в Вооружённых Силах СССР» III степени
и медали
Скончался 19 ноября 1975 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище
